Nhằm mục tiêu là nghiên cứu về đồng điều địa phương, đối đồng điều địa phương và các hàm tử suy rộng của chúng, chú trọng ứng dụng của các hàm tử này trong việc nghiên cứu cấu trúc của các môđun compăc tuyến tính trên vành note, quan tâm đến việc nghiên cứu tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết và đối liên kết với các môđun đối đồng điều địa phương và đồng điều địa phương liên quan đến giả thuyết của Grothendieck và câu hỏi mở của Huneke. Ngoài ra, xem xét việc ứng dụng các hàm tử ở trên trong việc nghiên cứu các lớp môđun quan trọng như: Môđun cofinite, môđun minimax, môđun coartin..., nhóm nghiên cứu do PGS.TS. Trần Tuấn Nam, Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đứng đầu đã tiến hành nghiên cứu đề tài: “Các hàm tử đồng điều địa phương và đối đồng điều địa phương suy rộng trên phạm trù các môđun compăc tuyến tính và ứng dụng”.

Các nội dung mà nhóm nghiên cứu tập trung giải quyết các vấn đề bao gồm: Đưa ra các tính chất của các môđun đồng điều địa phương và đồng điều địa phương suy rộng liên quan đến môđun minimax và môđun coartin. Áp dụng các kết quả của đồng điều địa phương và đồng điều địa phương suy rộng vào nghiên cứu đối đồng điều địa phương của Grothendieck và đối đồng điều địa phương suy rộng của Herzog thông qua đối ngẫu Matlis và đối ngẫu Macdonald; Tìm một số điều kiện đủ về tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố đối liên kết của môđun đồng điều địa phương, và tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương liên quan đến giả thuyết của Grothendieck và câu hỏi mở của Huneke; Tìm một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan (I, J) liên quan đến các môđun cofinite, đồng thời nghiên cứu về tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan (I, J) liên quan đến giả thuyết của Grothendieck; Đưa ra các tính chất quan trọng của đối đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan (I, J) liên quan đến các môđun minimax. Đặc biệt chúng tôi sẽ xem xét các tính chất của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan (I, J) trong phạm trù con Serre….

Sử dụng phương pháp qui nạp trên các môđun đồng điều địa phương và đối đồng điều địa phương và các tính chất của iđêan nguyên tố (đối) liên kết và đồng thời sử dụng các dãy phổ phù hợp, đặc biệt là các dãy phổ Grothendieck, qua 24 tháng (từ 05/2016 đến 05/2018), nhóm nghiên cứu thu được các kết quả như sau:

- Đưa ra được một số tính chất tương đương về tính minimax và coartin của các môđun đồng điều địa phương và đồng điều địa phương suy rộng. Thông qua đối ngẫu để suy ra các kết quả tương tự cho đối đồng điều địa phương của Grothendieck và đối đồng điều địa phương suy rộng của Herzog.

- Đưa ra được các tính chất tương đương về môđun I-tách và môđun đầy đủ I-adic liên quan đến tập đối giá của môđun. Chúng tôi cũng tìm được mối liên hệ giữa môđun đồng điều địa phương minimax và môđun đồng điều địa phương nơte.

- Thu được các điều kiện đủ liên quan đến môđun minimax và môđun coartin để tập iđêan nguyên tố đối liên kết của môđun đồng điều địa phương là hữu hạn.

- Thu được các điều kiện đủ liên quan đến môđun Lasker yếu và môđun cofinite yếu để tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan (I, J) là hữu hạn. Ngoài ra, chúng tôi cũng tìm được các điều kiện đủ để tập giá của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan (I, J) là hữu hạn.

 - Thu được một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan (I, J) liên quan đến các môđun cofinite, môđun minimax, môđun artin và môđun hữu hạn sinh.

- Thu được các tính chất của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan (I, J) trong phạm trù con Serr. - Đưa ra được các tính chất tương đương về môđun I-xoắn, (I, J)-xoắn và tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan (I, J).

- Xác định được tập hợp iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan (I, J) khác 0 bậc cao nhất.

 - Đưa ra được các tính chất tương đương liên quan đến môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan (I, J) hữu hạn sinh và coatomic. Ngoài ra chúng tôi cũng đưa ra được các tính chất về Biến đổi iđêan liên quan đến môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan (I, J).

Các kết quả nghiên cứu đã được công bố trên tạp chí Journal of the Korean Mathematical Society, International Journal of Algebra and Computation, Taiwanese Journal of Mathematics, …

Có thể tìm đọc toàn văn Báo cáo kết quả nghiên cứu của Đề tài (Mã số 15462/2018) tại Cục Thông tin Khoa học và Công nghệ Quốc gia.

P.T.T (NASATI)