Động lực của dòng chất lỏng nhớt không nén được mô tả bởi phương trình Navier-Stokes. Phương trình Navier-Stokes là một hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến và được giới thiệu lần đầu trong thế kỷ 19. Cho đến ngày nay, phương trình Navier-Stokes vẫn là mô hình toán học cơ bản khi nghiên cứu động lực của dòng chất lỏng. Các nhà toán học và vật lý tin rằng có thể giải thích và dự đoán sự hỗn loạn (turbulence) của dòng chất lỏng thông qua sự hiểu biết về nghiệm của phương trình Navier-Stokes. Tuy nhiên, một số tính chất nghiệm của phương trình Navier-Stokes vẫn là bí ẩn, phương trình Navier-Stokes cùng với câu hỏi về sự tồn tại nghiệm trơn toàn cục theo thời gian hoặc tính duy nhất của nghiệm yếu là một trong bảy bài toán thiên niên kỷ của Viện Toán học Clay (CMI).

Nghiên cứu động lực của dòng chất lỏng qua các miền khác nhau dẫn đến các dạng biến thể của phương trình Navier-Stokes, chẳng hạn như nghiên cứu động lực của dòng chất lỏng qua miền có lỗ thủng, miền ngoại vi, miền trụ... Đặc biệt, động lực của dòng chất lỏng nhớt không nén qua vật cản xoay mô tả bởi phương trình Navier-Stokes có miền ngoại vi biến thiên theo thời gian, sau khi sử dụng phép đổi biến sẽ nhận được phương trình mới và phương trình này được gọi là phương trình Navier-Stokes-Oseen. Trong nỗ lực tìm hiểu và làm sáng tỏ các tính chất của dòng chất lỏng nhớt không nén (việc này tương đương với nghiên cứu nghiệm của phương trình Navier-Stokes và các dạng modify của nó), các nhà toán học đã nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm mạnh, nghiệm yếu, nghiệm đủ tốt xác định trong khoảng thời gian hữu hạn hoặc toàn cục theo thời gian khi dữ liệu ban đầu đủ nhỏ. Việc nghiên cứu các loại nghiệm trên của phương trình Navier-Stokes đảm bảo cơ sở lý thuyết cho các mô hình và phương pháp giải nghiệm xấp xỉ của phương trình Navier-Stokes bằng hệ thống máy tính, từ đó có thể ứng dụng vào lĩnh vực thuỷ động học và khí động học chẳng hạn như mô hình chế tạo bề mặt của máy bay sao cho dòng không khí chuyển động quanh máy bay không bị hỗn loạn khi vận tốc của dòng không khí có những thay đổi lớn do những tác động của các nhân tố bên ngoài như máy bay đi vào vùng bão, vùng có từ trường mạnh, khu vực 2 có sấm sét.

Xuất phát từ thực tiễn đó, Cơ quan chủ trì Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN cùng phối hợp với Chủ nhiệm đề tài TS. Trịnh Viết Dược thực hiện nghiên cứu “Động lực của dòng chất lỏng nhớt không nén” với mục tiêu nghiên cứu tính bị chặn, hầu tuần hoàn, tuần hoàn, ổn định của dòng chất lỏng nhớt không nén qua một miền cho trước như là miền ngoại vi, miền có lỗ thủng.

Trong năm 1934, J. Leray chứng minh được sự tồn tại của nghiệm yếu cho phương trình Navier-Stokes. Tuy nhiên, câu hỏi về tính duy nhất của nghiệm yếu và sự tồn tại của nghiệm trơn toàn cục theo thời gian vẫn là bài toán mở cho đến ngày nay. Bên cạnh đó, sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm mạnh và nghiệm đủ tốt trên một khoảng thời gian nhỏ hoặc toàn cục theo thời gian khi dữ liệu ban đầu đủ nhỏ đã được nghiên cứu bởi Farwig, Bochers, Shor, Hishida, Hieber, Galdi, Geissert, Fujita, Kato, Amann, Miyakawa, Shibata, Danchin..., các kết quả nghiên cứu đã được công bố trên các tạp chí chuyên ngành uy tín, trong đó có những tạp chí thuộc top đầu của toán và toán-lý). Nghiệm yếu được nghiên cứu bởi Lions, Ladyzhenskaya, Solonnikov, Okamoto, Yamazaki, Miyakawa, Kato, Teramoto... Nghiệm tuần hoàn qua vật cản xoay được nghiên cứu bởi Geissert, Hieber, Huy...Việc nghiên cứu các tính chất của dòng chất lỏng nhớt không nén (tương đương với nghiên cứu nghiệm của phương trình Navier-Stokes và các dạng modify của nó) đã hình thành hai nhóm nghiên cứu rất mạnh ở Nhật và Đức. Nhóm ở Nhật mạnh về tính đặt chỉnh của phương trình tuyến tính thuần nhất và ước lượng dạng Lp-Lq cho C0 nửa nhóm sinh bởi toán tử Stokes hoặc toán tử Oseen, với một số tác giả tiêu biểu như là Kato, Shibata, Yamazaki, Hishida, Iwashita. Nhóm ở Đức mạnh về tính chính quy và sự ổn định của nghiệm, với một số tác giả tiêu biểu như là Borchers, Farwig, Galdi, Geissert, Hieber, Giga. Một số kết quả gần đây nhất về động lực của dòng chất lỏng được công bố trong các bài báo. Nghiên cứu động lực của dòng chất lỏng nhớt không nén là một chủ đề hot, đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học, với những kết quả nghiên cứu được công bố trên một số tạp chí chuyên ngành top đầu như Acta Mathematica, Mathematische Annalen, Archive for Rational Mechanics and Analysis, Journal of the Mathematical Society of Japan.

Đề tài đã sử dụng một số phương pháp: nội suy không gian hàm được sử dụng để chuyển các ước lượng Lp - Lq thu được trong lớp không gian hàm khả tích cấp p sang lớp không gian hàm Lorentz Lp,q ; Phép chiếu Helmholtz nhằm làm giảm số biến hàm trong phương trình mô tả dòng chất lỏng, cụ thể là làm mất biến áp suất trong phương trình Navier-Stokes; Lý thuyết C0 nửa nhóm và lý thuyết phổ của toán tử được sử dụng để chứng minh tính đặt chỉnh của phương trình tuyến tính thuần nhất và ước lượng Lp - Lq ; Lý thuyết hàm hầu tuần hoàn trên toàn trục số được sử dụng trong việc xây dựng công thức biểu diễn nghiệm hầu tuần hoàn của phương trình.

Sau thời gian nghiên cứu, đề tài đã thu được những kết quả như sau:

- Tính đặt chỉnh của phương trình Oseen trên các không gian solenoidal Lorentz, được thể hiện trong [1, trang 4 (3390)].

- Các tính chất của nửa nhóm sinh bởi toán tử Oseen trên các không gian solenoidal Lorentz, được thể hiện trong [1, Mệnh đề 1] và [2, Mệnh đề 2.2].

- Chỉ ra sự tồn tại duy nhất và ổn định đa thức của các nghiệm đủ tốt yếu bị chặn, tuần hoàn, hầu tuần hoàn, xem [1, Định lý 2.1, Định lý 3.4, Hệ quả 1].

- Chỉ ra sự tồn tại duy nhất của nghiệm đủ tốt địa phương theo thời gian, xem [1, Định lý 4.1].

- Chỉ ra sự tồn tại duy nhất của nghiệm đủ tốt toàn cục theo thời gian, xem [2, Định lý 3.2].

- Chứng minh sự tồn tại duy nhất và ổn định đa thức của các nghiệm đủ tốt yếu bị chặn, tuần hoàn, hầu tuần hoàn cho phương trình Navier-Stokes-Oseen. Các nghiệm này nhận giá trị trong không gian solenoidal Lorentz $L^{3}_{\sigma, w}$.

- Chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm đủ tốt địa phương theo thời gian cho phương trình Navier-Stokes-Oseen trong các không gian solenoidal Lorentz $L^{3,q}_{\sigma}$.

- Chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm đủ tốt toàn cục theo thời gian cho phương trình Navier-Stokes-Oseen trong không gian solenoidal Lorentz $L^{3}_{\sigma, w}$. Đồng thời, chỉ ra nghiệm này là bị chặn và ổn định đa thức.

Có thể tìm đọc báo cáo kết quả nghiên cứu (mã số 17860/2020) tại Cục Thông tin khoa học và công nghệ quốc gia.

Đ.T.V (NASATI)